The current schedule in physics high school classes specifies that
projectile motion is taught as the initial example of two-dimensional
motion, but a survey of high school physics students showed that most
students have great difficulty accepting (i.e., they are slow to
understand) the concept of distinguishing motion in the horizontal
direction from motion in the vertical direction. Therefore, the author
propose a change in the order of the concepts taught: we propose that
the principal of inertia and the laws of motion should be taught
before projectile motion. Also, we have successfully used two tools
for teaching projectile motion: a 'trajectory rod' and obliquely lined
graph paper.
A trajectory rod is a rod to which several cardboard strips are
attached at equal intervals. The positive x axis on the obliquely
lined graph paper points up to the right, in the initial flight
direction of the projectile, so that the students can visualize the
increasing distance of the projectile's trajectory from the x axis.
keywords: projectile motion,trajectory rod,obliquely lined graph paper
１ はじめに
毎年授業をしていて，「自由落下」から「水平投げ」に教材が進むときが非常に難しい．それは，それまでの運動がすべて直線運動だったのに対して，ここではじめて曲線運動を扱うことになるのだが，教科書ではこの運動を水平方向と鉛直方向の２つの方向に分けて考えなさいと書いてある．また，それぞれの方向への運動の特徴（水平方向へは等速運動，鉛直方向へは自由落下運動）は実験事実として理解しなさいと書いてある．しかし，扱いが一気に数学的になることもあって，毎年かなりの割合の生徒がここで脱落する．
筆者は1998年度の勤務校の物理の授業(第2学年)で，以下に述べる３つの演示実験を行い，それらの実験からわかることを設問に答える形でプリントに書かせて提出させたところ，生徒が困難に感じている点がどこなのかがかなりはっきりした形で見えてきた．
そこで，1999年度の授業では教材配列を見直し，放物運動の前に慣性運動を扱い，さらに「放物すだれ」「斜交軸グラフ」という新しい教材を配した実践を行った．
２ 1998年度の教材配列
最初に1998年度までの筆者の授業の教材配列を述べる．なおこの配列は，現在高等学校の物理の授業では最も一般的なものであると思われる．
- 速さと速度 ・・・人の歩く速さを調べる生徒実験，v-tグラフの作成
- 速度の合成と分解
- 加速度
- 等加速度直線運動
- 自由落下
- 鉛直投げ下げと鉛直投げ上げ
- 水平投げ
- 斜め投げ
- 運動の3法則
「速さと速度」〜「等加速度運動」
運動の一般論である．ここで扱われる運動物体の例は，例えば人や自転車，自動車，船，飛行機等，運動の条件をいくら単純化しても構わない，人間のコントロールが可能な“乗り物”である．「速度の合成と分解」の「速度の分解」は，“斜めの直線運動”の問題を“縦向きと横向きの２つの直線運動”が組合わさったものと計算しても同じ答えが出る，といった程度の扱いである．例えば，飛行機が離陸して斜め30゜で上昇しているときに何秒後には何ｍの高さまで達しているか，というような問題である．
「自由落下」〜「斜め投げ」
重力だけがはたらく物体の運動である．これらの運動は初期条件だけで因果的に決まってしまうので，先の乗り物の例のように自由に動かすわけにはいかない．
「自由落下」では，落下の法則が，ものの質量に全く無関係であることや，運動の間中加速度が一定不変であることを学ぶ．それまで，“重いものほどはやく落ちる”と思っていた生徒は，授業で，ピンポン球とゴルフボールの同時落下の教室（教卓？）実験や，羽毛とコインの真空落下の演示実験を見ることにより，次第に正しい知識を身につけていくが，そこにそれほど大きな抵抗感はない．なぜなら，目の前で起こった実験事実は変えようがないからである．
自由落下の加速度が一定であることは，例えば教科書中のストロボ写真の解析や，重力加速度測定の生徒実験などでv-tグラフを描くことによって，やはりこれも実験事実として生徒は理解する．後の計算は，「等加速度直線運動」の簡単な応用なので，特に問題はない．次の「鉛直投げ下げまたは鉛直投げ上げ」も，自由落下からの類推または延長で考えると，理解にそれほど時間はかからない．
ところが，「水平投げ」になると様子ががらりと変わる．なぜなら，それまでの運動はすべて直線運動であるのに，ここではじめて曲線運動を扱うからである．
３ ３つの演示実験授業の記録と提出レポートに書かれた生徒の見方
対象クラスは，２年普通科理系30名(以下A組)，２年理数科33名(以下B組)であった．
演示実験は全部で３つある．ひとつの実験が終わる度に，プリントの設問に取り組む時間を５分〜１０分ほどとり，次の実験に進む．
【課題】
一般に，曲線運動は，いくつかの異なった方向への直線運動が組合わさったものとして理解することができる．２次元世界の曲線運動は２つの方向の直線運動が組合わさったものであり，３次元世界の曲線運動は３つの方向の直線運動が組合わさったものである．
さて，水平に投げ出された物体の運動は２次元の曲線運動である．この運動を水平方向への直線運動と鉛直方向への直線運動が組合わさったものとみなして，それぞれの方向への直線運動の特徴を調べる実験を行うから，その結果をプリントにまとめ，続く設問に答えなさい．
【演示実験１】
自由落下と水平投射
“自由落下”と“水平投射”の同時落下実験．同じ高さに支えた２つの小球を，同時に，一方は自由落下，他方は水平投射するとき，
| 設問１ | 床に着地するのはどちらが早いか． |
| 設問２ | この実験結果から，水平投射された物体は，鉛直方向へはどのような運動をしているといえるか． |
|
設問１に対する生徒の回答
| 1A | 「ほぼ同時に着地する．」（正解）・・・回答率A組30/30，B組33/33
|
設問２に対する生徒の回答
| 2A | 「自由落下運動と同じである．」（正解）・・・（２７／３０）（２５／３３） |
【演示実験２】
動く台車上での自由落下＝水平投射
台車に固定した支柱の先から台上に向けて小球を自由落下させる実験．台車上にはかごが固定されていて，台車が静止しているときは小球は百発百中でこのかごに入る．次に台車を等速運動させながら同じ実験を行うとき，
| 設問３ | 小球はかごの前に落ちるか，かごの後ろに落ちるか，それともちょうどかご位置に落ちるか．実験結果を書け． |
| 設問４ | この小球の運動は自由落下ではなく水平投射である．その理由を説明せよ． |
| 設問５ | この実験結果から，水平投射された物体は，水平方向へはどのような運動をしているといえるか． |
|
設問３に対する生徒の回答
| 3A | 「ちょうどかごの位置に落ちる．」（正解）・・・（３０／３０）（３３／３３） |
設問４に対する生徒の回答
| 4A | 「小球は静止していたのではなく，台車によって台車と同方向・同速度で運ばれていたのだから水平投射である．」（正解）・・・（２６／３０）（１３／３３） |
| 4B | 「台車が横に動いているから小球にも横の力がかかるため．」・・・（２）（１６） |
| 4C | 「台車の等速運動のパワーが小球に伝わり水平投射になる．」・・・（１）（０） |
| 4D | 「小球に水平方向への慣性がはたらき，水平方向へ力がはたらいたため．」・・・（１）（０） |
| 4E | 「台車が等速運動する方向へ小球に力がはたらき，台車が等速運動する方向へ水平に進む初速度がつく．」・・・（０）（１） |
設問５に対する生徒の回答
| 5A | 「台車と同じ等速運動をしているといえる．」（正解）・・・（２４／３０）（２８／３３） |
| 5B | 「カーブしながら落ちる．」・・・（２）（２） |
| 5C | 「水平投射．」・・・（２）（０） |
| 5D | 「自由落下の方向へと同じ．」・・・（１）（０） |
| 5E | 「投射された力と同じだけ水平運動している．」・・・（０）（１） |
| 5F | 「前方に力の加わった運動．」・・・（０）（１） |
【演示実験３】
動く台車上での自由落下＝水平投射
水平投射された水滴の運動をストロボスコープで見る実験．ゴム管の先端にガラスノズルをつけ，ここから水を水平に射出し，水平投射の軌跡を観察する．ゴム管には，途中，低周波発信器につないだスピーカーからの振動が与えられているので，ノズルからは一定の時間間隔で水滴状の水が射出されている．これにスピーカーの周波数に同調させたストロボスコープの光を当てて，水滴が軌跡上で静止して見えるようにする．
| 設問６ | 止まって見える水滴の位置から，水平投射の運動の特徴を調べることができる．その結果からどんなことがわかるか． |
設問６に対する生徒の回答
| 6A | 「水滴の水平方向の間隔は変化しないが，鉛直方向の間隔は次第に広がっていく．このことから水平方向には等速運動であり，鉛直方向には等加速度運動であることがわかる．」（正解）・・・（２１／３０）（３１／３３） |
| 6B | 「初めのうちは，水滴の間隔が狭いが，後になったら間隔が広くなって，水平方向への直線運動と鉛直方向への直線運動が組合わさっていることがわかる．」・・・（２）（０） |
| 6C | 「水滴の間隔が等しいので速度が一定である．」・・・（１）（０） |
| 6D | 「後の方になると鉛直の方向へと近づいていく．」・・・（１）（０） |
| 6E | 「横の時はだいたい同じ間隔だけど，下向きに落ちだしてから，間隔が広くなる．このことから等速直線運動と水平投射が同時に起こっていることがわかる．」・・・（１）（０） |
| 6F | 「ノズルから出てすぐの水滴より後の水の方が間隔が長いことから加速していると思う．」・・・（０）（１） |
４ 誤答分析
回答4Bは，“等速運動をする台車から小球に力がはたらいている”とする立場である．すなわち小球は本来“じっと静止して”いたいのだが，台車から押されているためにそうならず，支柱への固定がはずれたとき，この力が解放されて，小球はポンと水平向きに“押し出されてしまう”という感じだろうか．
回答4Cは文章的には回答4Bとかなり似ているが，“力”という言葉が“パワー”という言葉に変わっている．仮に“パワー”を“運動量”に置き換えて解釈すると，この答は必ずしも間違いとは言えなくなる．中学校までの理科の学習段階で，“力”“速度”“パワー”が未分化であり，これらを“運動量”的な意味合いで使う生徒もいる，という実例である．
回答4Dでも“慣性”“力”“速度”概念の混乱・未分化が見られる．“水平方向へ力がはたらいたため”の部分を，“水平方向への初速度が存在するため”に置き換えて見ることができる．
回答5B〜5Dこれらの誤答のいずれもが，曲線運動を直線運動の組み合わせとして理解することにつまずいている．これらの生徒達は，曲線運動を直線運動に分解して考える論理に飛躍を感じていて，教師の説明を受け入れがたく思っている．
同様に回答6B,6Eは，曲線運動を直線運動の組み合わせで理解しようとの意識はあるのだが，具体的にはどうやってそれを行えばよいのかがわからない回答である．曲線運動を直線運動に分解して考える論理は抽象的でわかりづらいと感じている．
回答6Cは，見方によれば，単に「水平方向への」という文節の書き忘れ，とも見えるが，文章そのものを素直に読むとつじつまがあわない．水平投射という曲線運動から，“ある方向への直線運動”を抽出することの難しさは，このような文章表現上の問題にも関わってくる．
回答6Dの回答内容は事実その通りであって，その意味では誤答とは言えないが，しかし，学習目標の方向からはそれている．設問の文章「止まって見える水滴の位置から，水平投射の運動の特徴を調べることができる。その結果からどんなことがわかるか．」で，“水滴の位置から”のかわりに“水滴の並びの間隔から”とした方が適切であったと思う．
回答6Fも間違いとは言い切れない内容を含んでいるが，学習目標に合わない．
５ 1999年度の教材配列
そもそもなぜ，放物運動を水平方向と鉛直方向に分けると結果が単純になるのだろうか．それは，物体にはたらく重力の向きが常に鉛直下向きであり，したがって，加速度は鉛直方向にしか存在しない（水平方向には加速度ゼロ）からである．
しかし別の見方もできる．物体は常に慣性運動しようとするが，重力の下ではそれはかなわず自由落下の分だけ鉛直下向きにそれてしまうのだとする立場である．すなわち，放物運動を，「実験事実がこのようになっているから運動を２方向にわけるのだ」ではなく，これこれの理由から物体は実際に２方向に運動しているのだ，とするのである．この方が生徒にとってはすっきりするのではないだろうか．とすれば，教材配列を見直して，やはり放物運動の前に運動の法則を扱うようにしなければならないと考えた．
- 速さと速度 ・・・人の歩く速さを調べる生徒実験，v-tグラフの作成
- 慣性の法則 ・・・だるまおとし，風船ホバークラフト，etcの演示実験
- 力のはたらき ・・・慣性の法則を破るものの存在
- 作用と反作用 ・・・ペットボトルロケット，ばねばかりを使った演示実験
- 加速度 ・・・再度v-tグラフ
- 自由落下(I) ・・・ピンポン球とゴルフボールの同時落下，真空中での羽毛とコインの同時落下（いづれも演示実験），重力加速度測定の生徒実験
- 運動の法則 ・・・運動の法則を確かめる生徒実験
- 等加速度直線運動 ・・・再々度v-tグラフ，基本公式
- 自由落下(II) ・・・計算による運動の予言
- 鉛直投げ下げと鉛直投げ上げ ・・・計算による運動の予言
- 水平投げと斜め投げ ・・・放物すだれの製作，斜交軸グラフに放物体の軌跡を描く課題，計算による運動の予言
以下に，新たに取り入れた「放物すだれ」「斜交軸グラフ」について簡単に説明しようと思う．
６ 放物すだれ
放物すだれについては，それまでも何度か演示用に作ってみたことがあった．たしかに面白い教具ではあるのだが，生徒の反応はいまひとつだった．その理由は，教材配列上の関係で「慣性の法則」「運動の法則」の前に扱っていたことと，教室40人の生徒に対して演示用すだれがひとつだけでは，しょせん無関心のままの生徒が少なくないからである．（対照的なのはモンキーハンティングの実験である．モンキーハンティングの実験では，演示実験であるのにいつも教室内の全員が集中する．やはり衝突するかしないか，自分の予測に対する答が目の前の実験で示されるからだと思う．）
前節で述べたような理由で，1999年度は教材配列順序を入れ替えて，「慣性の法則」と「運動の法則」を放物運動の前に持ってきたときに，この放物すだれを全員に作らせてみようと考えた．もちろん，作った作品は生徒に持ち帰らせることが前提である．
ちなみに著者の勤務校では実験・実習費等の名目の徴収金はない．したがってすべての消耗品の購入は公費でまかなわれる．したがって，生徒に持ち帰らせるとなると，単価で百円以下であることが絶対条件となる．結局材料は事務室からもらってきた白表紙（表面が白い厚紙）を使うことにした．白表紙１枚で放物すだれ２セットが作れるような寸法をとる．
0.02秒間隔ですだれを作る．0.00秒後と0.02秒後のすだれは短すぎて作れないので0.04秒のものからとする．各すだれには穴空け部分の長さに0.5cmをプラスする．したがって0.28秒後のものは自由落下の距離38.4cmプラス0.5cmで全長を38.9cmになる．
時間の節約と仕上がりのばらつきを最小限にするためには工程ができるだけ単純なほうがいい．厚紙には切り離す線と穴を空ける位置が印刷された型紙が貼ってある．また，腕の部分とすだれは割ピンでゆるく留める．
腕の部分に空ける穴の間隔は2.5cmである．したがって初速度すなわち慣性運動の速さは12.5cm/秒となる．
＋印のところに「１穴パンチ」でやや大きめの穴を空ける（約6mm）．
７ 斜交軸グラフ
放物すだれは角度設定の自由度が魅力だが，その反面初速度や時間間隔の比は変えられない．また，工作そのものを楽しんだだけで終わってしまう生徒も出てくるだろう．そこで，斜交軸グラフの課題を出すことにした．
斜交軸グラフとは，普通のグラフ用紙が直交座標平面であるのに対して斜交座標平面をもつグラフ用紙に対する私の造語（？）である．このグラフ用紙の升目は，平行四辺形に傾いている．
物体は，時刻ゼロで左上の角（＝原点）から斜めの座標軸方向に投げ出されたとする．仮に重力がはたらいていないならば，物体は慣性の法則により，座標軸に沿った等速直線運動をする．しかし，実際には重力がはたらいているので，物体はここから，同じ時間内の“自由落下”に等しい距離だけ，鉛直下向きに“落ちる”．
斜交軸グラフ上に物体の位置をプロットする作業は，まさに物体の慣性運動と自由落下運動を合成する作業そのものであり，放物運動の本質を自分で確認しながら作業を進めることになるので，放物すだれで得た知識の定着に効果が期待できる．
また，斜交軸グラフは，投げの角度は自由にならないが，初速度や時間スケール，距離スケール等が自由に決められることが長所である．
斜交軸グラフの用紙は市販のものがないのでLaTeX で自作した．水平に対する横軸の傾きが，それぞれ0,1/6,1/4,1/3,1/2,1のものを作り，生徒には，その内の4種類のグラフ用紙を用いて放物体の軌跡を作図してくるように課題を出した．
８ おわりに
放物運動を「鉛直方向の等加速度運動」と「水平方向の等速運動」として別々に扱うことに違和感を覚える多くの生徒がいる．これらの生徒に共通しているのは，“ひとつの運動には速度はひとつで十分”“ひとつの運動には距離はひとつで十分”という素朴な考え方であろう．
しかしそれでは放物運動の規則性が見えてこないから，物理学では平面運動を２成分に分解する．これは現象の要素還元，または現象の幾何学化とでも呼ぶべきものであり，放物運動を学習する場合には，どうしても避けられない．
しかし，“なぜひとつの運動を２つの運動に分けるのか”について，私たちは，押しつけではなく，生徒の思考のスピードに合わせて，説得力ある言葉で，もっと生徒に語らなくてはならないのではないだろうか．
1999年度の授業では指導目標を，
- なぜ下向きに曲がるのか？ →重力がはたらくので曲がる(定性的な理解)
- 重力による曲がりに規則性は存在するのか？ →慣性運動と自由落下運動の組み合わせ(半定量的な理解)
- 放物体の運動の未来は予言できるのか？ →運動の完全な予測(定量的な理解)
の３段階に分けた．
本稿で報告した授業は第2段階である．半定量的な理解であるから，運動の完全な予測はできない．しかし，放物体はなぜ決まったコースを飛ぶのか？ そのコースには規則性があるのか？}の問いに科学的に答えられる．“すべてか，無か”ではなくて，半分くらいわかった生徒の割合をもっと多くしよう，というのが筆者の意見である．
参考文献
板倉聖宣，江沢洋「物理学入門」p.52 (1964)
石川昌司「演示実験を取り入れた水平投射の授業の分析」北海道の理科 No.41 (1998)
石川昌司「放物すだれと斜交座標を用いた放物運動の指導」北海道の理科 No.42 (1999)
